Transformasi Geometri : Pengertian, Jenis-Jenis, Rumus, dan Contoh Soal

Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah perubahan posisi dari posisi awal ke posisi yang lainnya.Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar dan bentuknya sendiri. Jika hasil transformasi kongruen dengan bangunan yang ditranformasikan, maka disebut transformasi isometri.

Transformasi isometri sendiri memiliki dua jenisya itu transformasi isometri langsung dan transformasi isometri berhadapan. Transformasi isometri langsung termasuk translasi dan rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan termasuk refleksi.Macam-macam transformasi geometri  yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian).

Contoh penerapan transformasi geometri dapat kita lihat saat melakukan aktivitas yang melibatkan perubahan posisi seperti berjalan, berlari, melompat, dan pergerakan lainnya yang melibatkan perubahan posisi.

Dalam transformasi geometri juga dikenal dengan pencerminan. Contoh penerapan pencerminan misalnya pada saat kita bercermin, jarak benda dengan cermin sama dengan jarak cermin dengan bayangan.

---

Jenis-Jenis Transformasi Geometri dan Rumusnya

Beberapa konsep dan rumus yang akan dijelaskan pada bagian di bawah ini antara llain mengenai translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian).

• ---

  Translasi (Pergeseran)

Translasi merupakan perubahan posisi tanpa mengubah bentuk dan ukuran. Jadi yang berpindah hanya posisi awalnya saja, sedangkan ukuran dan bentuknya tetap.

Misalkan terdapat suatu objek dengan posisi awal (x, y) dan dilakukan translasi (a, b).

Dari gambar diketahui bahwa translasi hanya dapat berubah posisinya saja. Ukuran akan tetap sama.

Adapun rumus dari translasi, yaitu:

(x’ , y’) = (a , b) + (x , y)

Keterangan:

• (x’ , y’) = titik bayangan
• (a , b) = vektor translasi
• (x , y) = titik asal

Maka posisi akhir objek setelah translasi yaitu

• ---

  Refleksi (Pencerminan)

Konsep pencerminan ini sama dengan ketika kita bercermin. Jaran antara benda dengan cermin akan sama dengan jarak bayangan dengan cermin. Dalam koordinat kartesius terdapat beberapa jenijs pencerminan yaitu sebagai berikut.

• • Pencerminan terhadap titik O(0,0)

Pencerminan suatu titik yang dicermikan terhadap titik O(0, 0) memiliki matriks transformasi . Sehingga rumus bayangan hasil refleksi suatu titik (x, y) terhadap titik O(0, 0) yaitu

• • Pencerminan terhadap sumbu-x

Pencerminan suatu titik yang dicerminakn terhadap sumbu-x memiliki matriks transformasi . Sehingga bayangan terhadap suatu titik (x, y) dengan pencerminan terhadap sumbu-x yaitu

• • Pencerminan terhadap sumbu-y

Pencerminan terhadap sumbu-y memiliki matriks transformasi . Sehingga hasil refleksi (pencerminan) suatu titik (x, y) dengan sumbu refleksi adalah sumbu-y adalah

• • Pencerminan terhadap garis y = x

Matriks transformasi untuk refleksi suatu titik terhadap garis y =  x yaitu . Sehingga bayangan hasil refleksi (pencerminan) dari titik (x, y) terhadap garis y = x adalah

• • Pencerminan terhadap garis y = -x

Adapun matriks transformasi dari refleksi terhadap garis y = -x adalah . Sehingga untuk menentukan bayangan (hasil refleksi) terhadap garis y = -x dapat diperoleh dengan

Jadi Rumus Umum Refleksi adalah :

• • Pencerminan terhadap sumbu -x : (x,y) → (x, -y)
  • Pencerminan terhadap sumbu -y : (x,y) → (-x, y)
  • Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (y,x)
  • Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (-y, -x)
  • Pencerminan terhadap garis x = h : (x,y) → (2h -x,y)
  • Pencerminan terhadap garis y = k : (x,y) → (x, 2k – y)

• ---

  Rotasi (Perputaran)

Pada transformasi geometri berupa perputaran, unsur yang harus ada dalam rotasi adalah pusat rotasi dan besar sudut rotasi.

Secara umum, untuk suatu titik (x, y) jika dirotasi dengan pusat rotasi (p, q) dan sudut rotasi α, maka hasil rotasi (bayangan) dapat ditentukan dengan rumus berikut

Prinsip yang digunakan sama dengan rotasi dalam transformasi geometri, dimana memutar pada sudut serta titik pusat tertentu yang mempunyai jarak sama dengan setiap titik yang diputar.

Adapun rumus yang digunakan dalam rotasi transformasi geometri, antara lain:

• • Rotasi sebesar 90° dengan pusat (a,b) : (x,y) → (-y + a+b, x -a + b)
  • Rotasi sebesar 180° dengan pusat (a,b) : (x,y) → (-x + 2a+b, -y + 2b)
  • Rotasi sebesar -90° dengan pusat (a,b) : (x,y) → (y – b + a, -x + a + b)
  • Rotasi sebesar 90° dengan pusat (0,0) : (x,y) → (-y, x)
  • Rotasi sebesar 180° dengan pusat (0,0) : (x,y) → (-x, -y)
  • Rotasi sebesar -90° dengan pusat (0,0) : (x,y) → (y, -x)

Memperoleh hasil rotasi dengan cara menggambarnya terlebih dulu akan sangat tidak efektif.

Maka dari itu kita harus menggunakan metode lain yang bisa digunakan untuk menentukan hasil objek hasil rotasi. Solusinya adalah dengan cara memakai rumus transformasi geometri untuk rotasi.

• ---

  Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi bisa dipahami sebagai bentuk pembesaran atau pengecilan dari titik-titik yang membentuk sebuah bangun.Pada dilatasi, objek mengalami perpindahan dan perubahan ukuran. Perubahan ukuran didasarkan pada nilai faktor dilatasi. Misalkan faktor dilatasi disimbolkan dengan k, maka

• • Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
  • Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkeci dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika -1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika k = -1 maka benda tidak berubah ukuran tetapi arah benda berlawanan dengan arah semual.
  • Sedangkan jika k < -1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan dengan arah bangun semula.

Secara umum, suatu objek yang terletak pada (x, y) yang didilatasi dengan faktor dilatasi k dan pusat dilatasi (p, q) adalah

---

Contoh Soal Transformasi Geometri

• Soal 1.

Bayangan dari titik B(9, -2) jika ditranslasikan oleh T(a, b) adalah B'(-4, 3). Nilai dari 2a + b adalah ….

Jawab

B'(9 + a, -2 + b) = B'(-4, 3)

9 + a = -4 ⇒ a = -4 – 9 = -13
-2 + b = 3 ⇒ b = 3 + 2 = 5

Jadi nilai 2a + b adalah

= 2(-13) + 5

= -26 + 5

= -21

• Soal 2

Bayangan dari titik C oleh translasi T(-1, -4) adalah C'(4, -1). Koordinat dari titik C adalah …

Jawab

C'(x – 1, y – 4) = C'(4, -1)

x – 1 = 4 ⇒ x = 4 + 1 = 5
y – 4 = -1 ⇒ y = -1 + 4 = 3

Jadi koordinat titik C adalah C(5, 3)

• Soal 3

Bayangan dari y = x² + 2x – 1 jika ditranslasi (2, -1) adalah …

Jawab

(x + 2, y – 1) = (x’, y’)

x + 2 = x’ ⇒ x = x’ – 2
y – 1 = y’ ⇒ y = y’ + 1

Substitusikan ke

y = x² + 2x – 1

(y’ + 1) = (x’ – 2)² + 2(x’ – 2) – 1

y’ + 1 = x’² – 4x’ + 4 + 2x’ – 4 – 1

y’ = x’² – 2x’ – 2

Jadi bayangan dari y = x² + 2x – 1 adalah y = x² – 2x – 2

• Soal 4

Bayangan dari titik E(-6, 7) jika dicerminkan terhadap sumbu y adalah …

Jawab

E'(-x, y)

= E'(-(-6), 7)

= E'(6, 7)

• Soal 5

Bayangan dari titik F(3, 8) jika dicerminkan terhadap garis y = 3 adalah …

Jawab

F'(x, 2b – y)

= F'(3, 2(3) – 8)

= F'(3, 6 – 8)

= F'(3, -2)

 

• Soal 6

Bayangan dari kurva y = x² – 5 jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah …

Jawab

(x, -y) = (x’, y’)

x = x’
-y = y’ ⇒ y = -y’

Substitusikan ke

y = x² – 5

-y’ = x’² – 5

y’ = 5 – x’²

Jadi bayangan dari y = x² – 5 adalah y = 5 – x²

• Soal 7

Bayangan dari garis y = 3x + 7 jika dicerminkan terhadap garis x = 4 adalah …

Jawab

(2a – x, y) = (x’, y’)

(2(4) – x, y) = (x’, y’)

(8 – x, y) = (x’, y’)

8 – x = x’ ⇒ x = 8 – x’
y = y’

Substitusikan ke

y = 3x + 7

y’ = 3(8 – x’) + 7

y’ = 24 – 3x’ + 7

y’ = 31 – 3x’

Jadi bayangan dari garis y = 3x + 7 adalah garis y = 31 – 3x